1. 二项展开式是什么 二项展开式是将二项式 $(a+b)^n$ 展开为和式的公式，其中 $a$，$b$，$n$ 都是实数或复数。当 $n$ 为正整数时，可以使用二项式定理证明其正确性。展开后得到的式子包含 $n+1$ 项，每一项的系数都可以通过组合数来表示。 2. 二项式定理 二项式定理表明了如何计算二项式的幂。它的公式为：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^k$$ 其中，${n \choose k}$ 表示组合数，可以用以下公式计算：$${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 3. 推导过程 我们可以通过数学归纳法来证明二项展开式。当 $n=1$ 时，$$(a+b)^1=a+b$$ 当 $n=2$ 时，$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 显然，当 $n=1$ 和 $n=2$ 时，二项展开式成立。现在，假设当 $n=k$ 时二项展开式成立，即$$(a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}a^{k-i}b^i$$ 那么当 $n=k+1$ 时，$$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)$$ 根据我们的假设，$$(a+b)^k=\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}a^{k-i}b^i$$ 将其代入，$$(a+b)^{k+1}=\left(\sum_{i=0}^{k}{k \choose i}a^{k-i}b^i\right)(a+b)$$ 展开后，$$\begin{aligned}(a+b)^{k+1}= & a^{k+1}+\sum_{i=1}^{k+1} {k \choose i-1}a^{k+1-i}b^i \\ & + \sum_{i=1}^{k+1}{k \choose i}a^{k-i+1}b^{i-1}+b^{k+1}\end{aligned}$$ 注意到第一项和最后一项分别是 $(a+b)^{k+1}$ 中次数为 $k+1$ 的项，所以我们可以合并前两项和后两项，得到：$$\begin{aligned}(a+b)^{k+1}= & \ a^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}{k+1 \choose i}a^{k+1-i}b^i+b^{k+1} \\ = & \ \sum_{i=0}^{k+1}{k+1 \choose i}a^{k+1-i}b^i\end{aligned}$$ 这就证明了当 $n=k+1$ 时，二项展开式也成立。因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意实数或复数 $a$，$b$，$n$，二项展开式都成立。 4. 应用 二项展开式在组合学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。例如，在概率论中，我们可以使用二项展开式来计算二项分布。在统计学中，我们也可以使用二项展开式来计算置信区间等。此外，在计算机科学中，二项展开式也常常被用来实现一些算法。 5. 总结 二项展开式是一种十分重要的数学公式，它能将二项式 $(a+b)^n$ 展开成 $n+1$ 项的和式。二项展开式在许多领域都有着广泛的应用，是学习和应用数学的基础知识。