正三棱柱是一种有着三个等边三角形底面和三个短高相等的特殊三棱柱。当我们在解决有关正三棱柱的问题时，往往需要知道其外接圆的直径。下面，我们来推导一下正三棱柱的外接圆直径公式。

假设正三棱柱的边长为a，底面的边长与高都为a。

连接正三棱柱的顶点、底面的中心点以及底面的一个顶点，可以得到一个直角三角形。

根据勾股定理，可以得到这个直角三角形的斜边的长度c：
c^2 = a^2 + (a/2)^2
c^2 = a^2 + a^2/4
c^2 = 5a^2/4
c = sqrt(5)*a/2

接着，我们可以通过三角形中的正弦定理来计算这个直角三角形的底边的长度b：
sin(60) = a/2 / b
sin(60) = sqrt(3)/2
b = a/(2 * sin(60))
b = a/sqrt(3)

通过上面得到的直角三角形的斜边c和底边b的关系，我们可以得到正三棱柱外接圆的直径d：
d = c + b
d = sqrt(5)*a/2 + a/sqrt(3)
d = (sqrt(5)*sqrt(3)*a + 2*a)/2sqrt(3)
d = (sqrt(15)*a + 2*a)/2sqrt(3)
d = (2sqrt(3) + sqrt(15))*a/2sqrt(3)
d = (2 + sqrt(15)/sqrt(3))*a/2
d = (2 + sqrt(15)/sqrt(3))*a/2
d = (2 + sqrt(15)/sqrt(3))*a/2
d = (2 + sqrt(15)/sqrt(3))*a/2
d = (2 + sqrt(15)/sqrt(3))*a/2
d = (8sqrt(3) + sqrt(15))*a/2sqrt(3)

我们推导出了正三棱柱外接圆直径的公式：d = (8sqrt(3) + sqrt(15))*a/2sqrt(3)。